Question

已知定點(diǎn)A、B間的距離為2，以B為圓心作半徑為2的圓，P為圓上一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點(diǎn)M，當(dāng)P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡記為曲線C．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線；
（2）試判斷l(xiāng)與曲線C的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：（1）以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（-1，0），B（1，0）．
設(shè)M（x，y），由題意：|MP|=|MA|，|BP|=2，
所以|MB|+|MA|=2．
故曲線C是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓，
其方程為x2+2y2=2．
（2）直線l與曲線C的位置關(guān)系是相切．
證法一：由（1）知曲線C方程為x2+2y2=2，
設(shè)P（m，n），則P在⊙B上，故（m-1）2+n2=8，
即m2+n2=7+2m．
當(dāng)P、A、B共線時(shí)，
直線l的方程為x=±，顯然結(jié)論成立．
當(dāng)P、A、B不共線時(shí)，
直線l的方程為：，
整理得，．
把直線l的方程代入曲線C方程得：，
整理得[n²+2（m+1）²]x²-4（m+1）（m+3）x+2（m+3）²-2n²=0．
△=[4（m+1）（m+3）]²-4[n²+2（m+1）²][2（m+3）²-2n²]
=-8n²[（m+3）²-n²-2（m+1）²]=-8n²[-m²-n²+2m+7]=0．
∴直線l與曲線C相切．（說明：以A或B為原點(diǎn)建系亦可）
證法二：在直線l上任取一點(diǎn)M'，
連接M'A，M'B，M'C，
由垂直平分線的性質(zhì)得|M'A|=|M'P|，
∴
（當(dāng)且僅當(dāng)M、M'重合時(shí)取“=”號）
∴直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)M．
∴直線l與曲線C相切．
分析：（1）以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0）．設(shè)M（x，y），由題意：|MP|=|MA|，|BP|=2，所以|MB|+|MA|=2．由此能求出曲線C的方程．
（2）直線l與曲線C的位置關(guān)系是相切．
證法一：由曲線C方程為x2+2y2=2，設(shè)P（m，n），則P在⊙B上，故（m-1）2+n2=8，即m2+n2=7+2m．由此入手能夠證明直線l與曲線C相切．
證法二：在直線l上任取一點(diǎn)M'，連接M'A，M'B，M'C，由垂直平分線的性質(zhì)得|M'A|=|M'P|，，由此能夠證明直線l與曲線C相切．
點(diǎn)評：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．本題綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識體系不牢固．