Question

已知a₁=1，a_n+1=a_n+2n-1．求a_n與s_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）（第一個n是次方）

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：首先由給出的數列遞推式結合首項利用累加法求出數列{a_n}的通項公式；分n為偶數和奇數求解S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）．

解答： 解：由a_n+1=a_n+2n-1，得
a₂=a₁+2×1-1，
a₃=a₂+2×2-1，
a₄=a₃+2×3-1，
…
a_n=a_n-1+2n-1（n≥2）．
累加得：a_n=a₁+2（1+2+…+n）-n
=1+2×

n(n+1)

2

-n=n2+1（n≥2）．
驗證n=1時上式不成立，
∴an=

1，n=1 n2+1，n≥2

；
S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）．
當n為偶數時，S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）
=（3-1）+（7-5）+…+[（2n-1）-（2n-3）]=2×

n

2

=n；
當n為奇數時，S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）
=（3-1）+（7-5）+…+[（2n-3）-（2n-5）]-（2n-1）
=2×

n-1

2

-(2n-1)=-n．
所以，S_n=

n，n為偶數 -n，n為奇數

．

點評：本題考查了累加法求數列的通項公式，考查了數列和的求法，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．