7.已知F1、F2分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn).過F2作雙曲線的漸近線的垂線,垂足為P,則|PF1|2-|PF2|2=(  )
A.4a2B.4b2C.3a2+b2D.a2+3b2

分析 求出雙曲線的一條漸近線方程,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,求得|PF2|=b,運(yùn)用余弦函數(shù)的定義和余弦定理,計(jì)算即可得到所求值.

解答 解:設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x,
F2(c,0)到漸近線的距離為d=|PF2|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b,
cos∠POF2=$\frac{|PO|}{|O{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-^{2}}}{c}$=$\frac{a}{c}$,
在△POF1中,|PF1|2=|PO|2+|OF1|2-2|PO|•|OF1|•cos∠POF1
=a2+c2-2ac•(-$\frac{a}{c}$)=3a2+c2
則|PF1|2-|PF2|2=3a2+c2-b2=4a2,
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查距離的平方差,注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)到直線的距離公式,同時(shí)考查余弦定理的運(yùn)用,化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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17.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形.點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.
(Ⅰ)求證:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,試證明AF⊥平面PCD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,線段PB上是否存在點(diǎn)M,使得EM⊥平面PCD?(請(qǐng)說明理由).

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18.在數(shù)列{an}中,若a1=3,an+1=an+n(n≥1),分別寫出該數(shù)列的第2~5項(xiàng).

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15.($\root{3}{{x}^{-1}}$-$\root{5}{{x}^{-2}}$)n展開式的所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和等于1024,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng).

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2.已知數(shù)列{an}是公差為整數(shù)的等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a5+2=0,2S1,3S2,8S3成等比數(shù)列,則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前10項(xiàng)和為-$\frac{10}{51}$.

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12.已知某輪船速度為每小時(shí)10千米,燃料費(fèi)為每小時(shí)30元,其余費(fèi)用(不隨速度變化)為每小時(shí)480元,設(shè)輪船的燃料費(fèi)用與其速度的立方成正比,問輪船航行的速度為每小時(shí)多少千米時(shí),每千米航行費(fèi)用總和為最小.

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19.已知($\root{4}{\frac{1}{a}}-\root{3}{{a}^{2}}$)n的展開式中,倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值是45,求展開式中含a3的項(xiàng).

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16.若數(shù)列{an}滿足a2-a1>a3-a2>a4-a3>…>an+1-an>…,則稱數(shù)列{an}為“差遞減”數(shù)列,若數(shù)列{an}是“差遞減”數(shù)列,且其通項(xiàng)an與其前n項(xiàng)和Sn(n∈N*)滿足2Sn=3an+2λ-1(n∈N*),則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$λ>\frac{1}{2}$.

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17.今年春節(jié)期間,在為期5天的某民俗廟會(huì)上,某攤點(diǎn)銷售一種兒童玩具的情況如表:
日期2月13日2月14日2月15日2月16日2月17日
天氣小雨小雨陰轉(zhuǎn)多云多云轉(zhuǎn)陰
銷售量上午4247586063
下午5556626567
由表可知:兩個(gè)雨天的平均銷售量為100件/天,三個(gè)非雨天的平均銷售量為125件/天.
(1)以十位位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉.畫出表中10個(gè)銷售數(shù)據(jù)的莖葉圖,并求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)
(2)假如明年廟會(huì)5天中每天下雨的概率為$\frac{2}{5}$,且每天下雨與否相互獨(dú)立,其它條件不變.試估計(jì)廟會(huì)期間同一類型攤點(diǎn)能夠售出的同種兒童玩具的件數(shù);
(3)已知攤位租金為1000元/個(gè),該種玩具進(jìn)貨價(jià)為9元/件,售價(jià)為13元/件,未售出玩具可按進(jìn)貨價(jià)退回廠家,若所獲利潤(rùn)大于1200元的概率超過0.6,則成為“值得投資”,那么在(2)的條件下,你認(rèn)為“值得投資”嗎?

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