Question

20．數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N₊），則數(shù)列{a_n}的前2016項的和為$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 將所給等式移項、取倒數(shù)，設(shè)b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$，運用等差數(shù)列的定義和通項公式，可得a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$，可得（n+1）a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{n{a}_{n}+1}$，
即有$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n{a}_{n}}$+1，
設(shè)b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$，則b_n+1=b_n+1，
可得數(shù)列{b_n}為首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
即有b_n=2+n-1=n+1，
可得a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{a_n}的前2016項的和為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
故答案為：$\frac{2016}{2017}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，同時考查等差數(shù)列的通項公式和運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．