Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱AA₁⊥底面 ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AA₁=3，BC=1，E₁為A₁B₁中點．
（Ⅰ）證明：B₁D∥平面AD₁E₁；
（Ⅱ）若AC⊥BD，求平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（銳角）的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結A₁D交AD₁于G，四邊形ADD₁A₁為平行四邊形，從而B₁D∥E₁G，由此能證明B₁D∥平面AD₁E₁．
（Ⅱ）以A為坐標原點，AB，AD，AA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ACD₁的一個法向量和平面CDD₁C₁的一個法向量，由此利用向量法能求出平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（銳角）的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連結A₁D交AD₁于G，
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁為四棱柱，
所以四邊形ADD₁A₁為平行四邊形，
所以G為A₁D的中點，
又E₁為A₁B₁中點，所以E₁G為△A₁B₁D的中位線，
從而B₁D∥E₁G…（4分）
又因為B₁D?平面AD₁E₁，E₁G?平面AD₁E₁，
所以B₁D∥平面AD₁E₁．   …（5分）
（Ⅱ）解：因為AA₁⊥底面ABCD，AB?面ABCD，AD?面ABCD，
所以AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，又∠BAD=90°，
所以AB，AD，AA₁兩兩垂直．…（6分）
如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系．
設AB=t，則A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），
D（0，3，0），C₁（t，1，3），D₁（0，3，3）．
從而

AC

=(t，1，0)，

BD

=(-t，3，0)．
因為AC⊥BD，所以

AC

•

BD

=-t2+3+0=0，解得t=

3

．…（8分）
所以

AD1

=(0，3，3)，

AC

=(

3

，1，0)．
設

n1

=(x1，y1，z1)是平面ACD₁的一個法向量，
則

AC • n1 =0 AD1 • n1 =0.

即

3 x1+y1=0 3y1+3z1=0

令x₁=1，則

n1

=(1，-

3

，

3

)．…（9分）
又

CC1

=(0，0，3)，

CD

=(-

3

，2，0)．
設

n2

=(x2，y2，z2)是平面CDD₁C₁的一個法向量，
則

CC1 • n2 =0 CD • n2 =0.

即

z2=0 - 3 x2+2y2=0

令x₂=1，則

n2

=(1，

3

2

，0)．…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|1×1+ 3 2 ×(- 3 )+ 3 ×0|

1+3+3 × 1+ 3 4 +0

=

1

7

，
∴平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（銳角）的余弦值

1

7

．…（12分）

點評：本小題考查空間中直線與平面的位置關系、空間向量的應用等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想．