Question

19．（1）求$y=sin（2x-\frac{π}{6}）+2，x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{3}}]$的值域．
（2）求函數(shù)y=sin²x-acosx+3，x∈[0，π]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）直接由x的范圍求得相位的范圍，則函數(shù)的值域可求；
（2）化正弦為余弦，然后換元，配方后對a分類討論求得函數(shù)的最值．

解答 解：（1）當x∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]時，2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{7π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴sin（2x$-\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴$y=sin（2x-\frac{π}{6}）+2，x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{3}}]$的值域∈[1，3]；
（2）當x∈[0，π]時，設(shè)t=cosx∈[-1，1]，
∴函數(shù)y=sin²x-acosx+3=（1-cos²x）-acosx+3
=-cos²x-acosx+4=-（cosx+$\frac{a}{2}$）²+4+$\frac{{a}^{2}}{4}$=$-（t+\frac{a}{2}）^{2}+4+\frac{{a}^{2}}{4}$，
由二次函數(shù)可知：
當$-\frac{a}{2}≤-1$，即a≥2時，函數(shù)取最大值3+a，最小值為3-a；
當-1$＜-\frac{a}{2}≤0$，即0≤a＜2時，函數(shù)取最大值$4+\frac{{a}^{2}}{4}$，取最小值3-a；
當0＜$-\frac{a}{2}＜1$，即-2＜a＜0時，函數(shù)取得最大值$4+\frac{{a}^{2}}{4}$，最小值為3+a；
當$-\frac{a}{2}≥1$，即a≤-2時，函數(shù)取得最大值3-a，最小值為3+a．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，考查換元法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．