Question

f（x）=

|x|

x+2

，g（x）=f（x）-kx²，g（x）在（-∞，0）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：第一步：將f（x）的解析式化簡(jiǎn)；
第二步：令g（x）=0，并將分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，于是將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)根問題；
第三步：尋找方程有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件，以探求k的取值范圍．

解答： 解：由x∈（-∞，0），得f（x）=

-x

x+2

，
從而g（x）=f（x）-kx²=

-x

x+2

-kx²，
令g（x）=0，即

-x

x+2

-kx²=0，
由于g（x）在（-∞，0）上有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以方程

-x

x+2

-kx²=0在（-∞，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根，
即方程kx²+2kx+1=0在（-∞，-2）∪（-2，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根，
得

△＞0 1 k ＞0

，即

4k2-4k＞0 k＞0

，解得k＞1，
又當(dāng)x=-2時(shí)，由kx²+2kx+1=0知，k的值不存在，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，關(guān)鍵是善于將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題來處理．