點P到x軸的距離比它到點(0,1)的距離小1,稱點P的軌跡為曲線C,點M為直線l:y=-m (m>0)上任意一點,過點M作曲線C的兩條切線MA,MB,切點分別為A,B.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-l)時,求過M,A,B三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系;
(3)當(dāng)m變化時,試探究直線l上是否存在點M,使MA⊥MB?若存在,有幾個這樣的點,若不存在,請說明理由.
分析:(1)利用拋物線的定義即可得出其軌跡;
(2)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-1)時,設(shè)過M點的切線方程為y=kx-1,與拋物線的方程聯(lián)立,因為相切,可得△=0,即可解出斜率k,可得出點A,B的坐標(biāo),進而得到過三點A、B、M的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可判斷出直線l與此圓的位置關(guān)系;
(3)設(shè)M(x0,-m),過M的切線方程為:y=k(x-x0)-m.與拋物線的方程聯(lián)立,由于相切可得△=0,即可得到直線MA,MB的斜率滿足的關(guān)系式,再利用垂直滿足的關(guān)系式即可判斷出答案.
解答:解:(1)∵點P到x軸的距離比點P到點(0,1)的距離小1,
∴點P到直線y=-1的距離等于點P到點(0,1)的距離,
∴點P的軌跡是焦點在(0,1),準(zhǔn)線為y=-1的拋物線,
∴點P的軌跡方程為:x2=4y.
(2)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-1)時,設(shè)過M點的切線方程為y=kx-1,
代入x2=4y,整理得x2-4kx+4=0,①
令△=(4k)2-4×4=0,解得k=±1,代入方程①得x=±2,故得A(2,1),B(-2,1),|AB|=4.
∵M到AB的中點(0,1)的距離為2,
∴過M,A,B三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=4.
易知圓與直線l:y=-1相切.
(3)設(shè)M(x0,-m),過M的切線方程為:y=k(x-x0)-m.
聯(lián)立
x2=4y
y=k(x-x0)-m
整理得  x2-4kx+4(kx0+m)=0,
∵直線與拋物線相切,∴△=0.
即16k2-16(kx0+m)=0,整理得k2-kx0-m=0,
∴kMA+kMB=x0,kMA•kMB=-m
若MA⊥MB,則kMA•kMB=-m=-1.
即m=1時,直線l上任意一點M均有MA⊥MB;
m≠1時,MA與MB不垂直.
綜上所述,當(dāng)m=1時,直線l上存在無窮多個點M,使MA⊥MB,
當(dāng)m≠1時,直線l上不存在滿足條件的點M.
點評:熟練掌握拋物線的定義、直線與拋物線相切轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個未知數(shù)的一元二次方程的△=0、根與系數(shù)的關(guān)系、直線相互垂直與斜率的關(guān)系、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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1
2
,0)的距離比點P到x軸的距離大
1
2

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OA
OB
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2
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14
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