已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是x軸上方橢圓E上的一點(diǎn),且PF1⊥F1F2|PF1|=
3
2
,|PF2|=
5
2

(Ⅰ) 求橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)判斷以PF2為直徑的圓與以橢圓E的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系;
(Ⅲ)若點(diǎn)G是橢圓C:
x2
m2
+
y2
n2
=1(m>n>0)
上的任意一點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C的一個焦點(diǎn),探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.
分析:(Ⅰ)由P在橢圓E上,知a=2.由PF1⊥F1F2,知|F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=(
5
2
)2-(
3
2
)2=4
.由此能求出橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo).
(Ⅱ)線段PF2的中點(diǎn)M(0,
3
4
)
,以M(0,
3
4
)
為圓心PF2為直徑的圓M的方程為x2+(y-
3
4
)2=
25
16
.以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為:x2+y2=4,由此可知兩圓相內(nèi)切.
(Ⅲ)以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓相內(nèi)切.設(shè)F'是橢圓C的另一個焦點(diǎn),其長軸長為2m(m>0),點(diǎn)G是橢圓C上的任意一點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C的一個焦點(diǎn),有|GF|+|GF'|=2m,由此能夠?qū)С鰞蓤A內(nèi)切.
解答:解:(Ⅰ)∵P在橢圓E上∴2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,….(1分)
∵PF1⊥F1F2,∴|F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=(
5
2
)2-(
3
2
)2=4
,….(2分)
2c=2,c=1,∴b2=3.
所以橢圓E的方程是:
x2
4
+
y2
3
=1
….(4分)
∵F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),∵PF1⊥F1F2P(-1,
3
2
)
….(5分)
(Ⅱ)線段PF2的中點(diǎn)M(0,
3
4
)

∴以M(0,
3
4
)
為圓心PF2為直徑的圓M的方程為x2+(y-
3
4
)2=
25
16

圓M的半徑r=
5
4
….(8分)
以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為:x2+y2=4,圓心為O(0,0),半徑為R=2
圓M與圓O的圓心距為|OM|=
3
4
=2-
5
4
=R-r
所以兩圓相內(nèi)切  …(10分)
(Ⅲ)以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓相內(nèi)切           …(11分)
設(shè)F'是橢圓C的另一個焦點(diǎn),其長軸長為2m(m>0),
∵點(diǎn)G是橢圓C上的任意一點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C的一個焦點(diǎn),
則有|GF|+|GF'|=2m,則以GF為直徑的圓的圓心是M,圓M的半徑為r=
1
2
|GF|

以橢圓C的長軸為直徑的圓O的半徑R=m,
兩圓圓心O、M分別是FF'和FG的中點(diǎn),
∴兩圓心間的距離|OM|=
1
2
|GF′|=m-
1
2
|GF|=R-r
,所以兩圓內(nèi)切.….(14分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓E的方程和P點(diǎn)的坐標(biāo)的求法,判斷兩圓的位置關(guān)系,探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.解題時要認(rèn)真審題材,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),焦點(diǎn)為F1、F2,雙曲線G:x2-y2=m(m>0)的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D,已知三角形ABF2的周長等于8
2
,橢圓四個頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2

(1)求橢圓E與雙曲線G的方程;
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2,探求k1和k2的關(guān)系;
(3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,試求出λ的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以F1(-c,0)為圓心,以a-c為半徑作圓F1,過點(diǎn)B2(0,b)作圓F1的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)為M、N.
(1)若過兩個切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)B1(0,-b)時,求此橢圓的離心率;
(2)若直線MN的斜率為-1,且原點(diǎn)到直線MN的距離為4(
2
-1),求此時的橢圓方程;
(3)是否存在橢圓E,使得直線MN的斜率k在區(qū)間(-
2
2
,-
3
3
)內(nèi)取值?若存在,求出橢圓E的離心率e的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
3
=1
(a
3
)的離心率e=
1
2
.直線x=t(t>0)與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M,N,以線段MN 為直徑作圓 C,圓心為 C.
 (1)求橢圓E的方程;
 (2)若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A,B,求△ABC的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•佛山二模)已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個交點(diǎn)為F1(-
3
,0)
,而且過點(diǎn)H(
3
,
1
2
)

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,P是橢圓上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線PA1,PA2分別交x軸于點(diǎn)N,M,若直線OT與過點(diǎn)M,N的圓G相切,切點(diǎn)為T.證明:線段OT的長為定值,并求出該定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+y2=1
(a>1)的離心率e=
3
2
,直線x=2t(t>0)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N,以線段MN為直徑作圓C,圓心為C
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)當(dāng)圓C與y軸相切的時候,求t的值;
(Ⅲ)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OMN面積的最大值.

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同步練習(xí)冊答案