(2005•朝陽(yáng)區(qū)一模)有一個(gè)正四棱錐,它的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均為a,現(xiàn)用一張正方形包裝紙將其完全包住(不能裁剪紙,但可以折疊),那么包裝紙的最小邊長(zhǎng)應(yīng)為( 。
分析:將四棱錐的四個(gè)側(cè)面沿底面展開,觀察展開圖的形狀形可得包裝紙的對(duì)角線處在如圖所示的P'P位置時(shí),包裝紙面積最小,由此結(jié)合正三角形和正方形的性質(zhì)加以計(jì)算,即可獲得問題的解答.
解答:解:由題意,得
將正四棱錐沿底面將側(cè)面都展開,得到如右圖所示的平面展開圖
可得當(dāng)以P'P為正方形的對(duì)角線時(shí)所需正方形的包裝紙的面積最小,
相應(yīng)地,此時(shí)包裝紙的邊長(zhǎng)也最。
設(shè)包裝紙正方形的邊長(zhǎng)為x,可得P'P2=2x2
又∵P'P=a+2×
3
a
2
,∴P'P2=(a+
3
a)2=2x2,
解之得:x=
2
+
6
2
a

故選:B
點(diǎn)評(píng):本題給出正方形紙片將正四棱錐完全包住,求包裝紙的最小邊長(zhǎng)考.著重考查了四棱錐的側(cè)面展開圖、正方形和正三角形的性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.同時(shí)考查了圖形的觀察和分析能力、空間想象能力和空間問題平面化的思想,是一道值得同學(xué)們體會(huì)反思的好題.
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