Question

設(shè)a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=

x

-alnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）是[1，+∞）上增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

x

-lnx，求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，從而解出x，再觀察在這個(gè)值附近的導(dǎo)數(shù)正負(fù)，從而確定極值；
（2）若使函數(shù)f（x）是[1，+∞）上增函數(shù)，則只需使f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，從而解得．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

x

-lnx，
f′（x）=

1

2

1

x

-

1

x

=

x -2

2x

，
令f′（x）=0解得，x=4，
在x=4附近，左側(cè)f′（x）＜0，右側(cè)f′（x）＞0；
故f（x）在x=4附近有極小值f（4）=2-ln4；
（2）∵f′（x）=

1

2

1

x

-a

1

x

=

x -2a

2x

，
若使函數(shù)f（x）是[1，+∞）上增函數(shù)，
∴

x -2a

2x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴1-2a≥0，
故a≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的轉(zhuǎn)化與處理，屬于中檔題．