Question

已知兩點(diǎn)M₁（0，0），M₂（1，0）．以M₁為圓心，M₁M₂為半徑作圓交x軸于點(diǎn)M₃（異于M₂），記作⊙M₁；以M₂為圓心，M₂M₃為半徑作圓交x軸于點(diǎn)M₄（異于M₃），記作⊙M₂；…；以M_n為圓心，M_nM_n+1為半徑作圓交x軸于點(diǎn)M_n+2（異于M_n+1），記作⊙M_n．當(dāng)n∈N^*時(shí)，過原點(diǎn)作傾斜角為30°的直線與⊙M_n交于A_n，B_n．考察下列論斷：
當(dāng)n=1時(shí)，A₁B₁=2；當(dāng)n=2時(shí)，A₂B₂=

15

；當(dāng)n=3時(shí)，A₃B₃=

35×42+23-1

3

；當(dāng)n=4時(shí)，A₄B₄=

 

．
由以上論斷推測一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n∈N^*，A_nB_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：由已知中當(dāng)n∈N*時(shí)，過原點(diǎn)作傾斜角為30°的直線與⊙M_n交于A_n，B_n的相關(guān)論斷：當(dāng)n=1時(shí)，|A₁B₁|=2=

35×40+(-1)0×21-1

3

；當(dāng)n=2時(shí)，|A₂B₂|=

15

=

35×41+(-1)1×22-1

3

；當(dāng)n=3時(shí)，|A₃B₃|=

35×42+23-1

3

=

35×42+(-1)2×23-1

3

；當(dāng)n=4時(shí)，|A₄B₄|=

35×43+(-1)3×24-1

3

；…分析表達(dá)式中4的指數(shù)，第二項(xiàng)的系數(shù)，及2的指數(shù)的變化趨勢(shì)，即可得到答案．

解答： 解：由已知中，
當(dāng)n=1時(shí)，|A₁B₁|=2=

35×40+(-1)0×21-1

3

；
當(dāng)n=2時(shí)，|A₂B₂|=

15

=

35×41+(-1)1×22-1

3

；
當(dāng)n=3時(shí)，|A₃B₃|=

35×42+23-1

3

=

35×42+(-1)2×23-1

3

；
當(dāng)n=4時(shí)，|A₄B₄|=

35×43+(-1)3×24-1

3

=

247

；
…
∴對(duì)于n∈N^*，|A_nB_n|=

35×4n-1+(-1)n-1×2n-1

3

，
故答案為：

247

；

35×4n-1+(-1)n-1×2n-1

3

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．