如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥側(cè)面AC1.
(Ⅰ)求證:BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數(shù).
注意:在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容,使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答(Ⅱ).(右下圖)
(Ⅰ)在截面A1EC內(nèi),過E作EG⊥A1C,G是垂足.
① ∵_(dá)_____________
∴EG⊥側(cè)面AC1;取AC的中點(diǎn)F,連結(jié)BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
② ∵_(dá)_____________
∴BF⊥側(cè)面AC1;得BF∥EG,BF、EG確定一個(gè)平面,交側(cè)面AC1于FG.
③ ∵_(dá)______________
∴BE∥FG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG,
④ ∵_(dá)_____________
∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
⑤ ∵_(dá)_______________
∴,即
(Ⅰ)①∵面A1EC⊥側(cè)面AC1,
②∵面ABC⊥側(cè)面AC1, ③∵BE∥側(cè)面AC1, ④∵BE∥AA1, ⑤∵AF=FC, (Ⅱ)解:分別延長CE、C1B1交于點(diǎn)D,連結(jié)A1D. ∵∥, ∴ ∵∠B1A1C1=∠B1 C1A1=60°, ∠DA1B1=∠A1DB1=(180°-∠D B1A1)=30°, ∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°,即⊥ ∵CC1⊥面A1C1B1,即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根據(jù)三垂線定理得DA1⊥A1C, 所以∠CA1C1是所求二面角的平面角. ∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=90°, ∴∠CA1C1=45°,即所求二面角為45°
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C、
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