Question

11．已知函數(shù)f（x）=x（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明：當(dāng)x≠0時，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可；
（2）證明x＞0時，f（x）＞0，利用f（x）是偶函數(shù)，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：由題意，函數(shù)的定義域為R，
∵f（x）=x•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴f（-x）=-x•$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=x•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（2）證明：x＞0時，$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＞0，∴f（x）=x•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＞0，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴x＜0，f（x）=x•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$＞0，
∴當(dāng)x≠0時，f（x）＞0．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．