(2010•濰坊三模)如圖,過(guò)拋物線C1:y=x2-1上一點(diǎn)P(不與頂點(diǎn)重合)的切  線l與曲線C2x2+
y24
=1
相交所得的弦為AB.
(1)證明:弦AB的中點(diǎn)在一條定直線l0上;
(2)過(guò)P點(diǎn)且平行于(1)中直線l0的直線與曲線C1的另一交點(diǎn)為Q,與l平行的直線與曲線C1交于E、F兩點(diǎn),已知∠EQP=45°,試判斷△EQF的形狀,并說(shuō)明理由.
分析:(1)設(shè)點(diǎn)P(t,t2-1),因?yàn)閷?duì)曲線C1而言,所以l的斜率為y'|x=t=2t,直線l的方程為y=2tx-(t2+1).由
y=2tx-(t2+1)
x2+
y2
4
=1
,得4(1+t2)x2-4t(1+t2)x+(1-t2)(3+t2)=0.再由根的判別式和韋達(dá)定理能夠證明弦AB的中點(diǎn)在一條定直線l0:y=-1上.
(2)由P,Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),知Q(-t,t2-1).設(shè)EF的方程為y=2tx+b,代入y=x2-1得x2-2tx-b-1=0.設(shè)E(xE,xE2-1),F(xiàn)(xF,xF2-1),則xE+xF=2t,因?yàn)?span id="mqe8gai" class="MathJye">kQF=
(
x
2
F
-1)-(t2-1)
xF+t
=xF-t,同理kQF=xE-t.所以kQF+kQE=(xE+xF)-2t=0.由此能夠判斷△EQF為直角三角形.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)P(t,t2-1)
因?yàn)閷?duì)曲線C1而言,所以l的斜率為y'|x=t=2t,
直線l的方程為y=2tx-(t2+1).
y=2tx-(t2+1)
x2+
y2
4
=1
,
得4(1+t2)x2-4t(1+t2)x+(1-t2)(3+t2)=0.
由△=-16(1+t2)(t2-3)>0得-
3
<t<
3

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為(x0,y0),
則x1+x2=t,y1+y2=2t(x1+x2)-2(t2+1)=-2,
從而y0=-1.
所以弦AB的中點(diǎn)在一條定直線l0:y=-1上.…(7分)
(2)由(1)知,P,Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以Q(-t,t2-1).
設(shè)EF的方程為y=2tx+b,代入y=x2-1得x2-2tx-b-1=0.
設(shè)E(xE,xE2-1),F(xiàn)(xF,xF2-1),
則xE+xF=2t,因?yàn)?span id="asgmeao" class="MathJye">kQF=
(
x
2
F
-1)-(t2-1)
xF+t
=xF-t,
同理kQF=xE-t.所以kQF+kQE=(xE+xF)-2t=0.
若點(diǎn)F在直線PQ下方,則直線PQ平分∠EQF.
因?yàn)?span id="ue8y4im" class="MathJye">∠EQP=
π
4
,所以∠EQF=
π
2

即△EQF為直角三角形;
若點(diǎn)F在直線PQ上方,設(shè)M為線段PQ左邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn),
∠FQM=∠EQP=
π
4
,結(jié)論仍然成立.…(15分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,具有一定的難度,運(yùn)算量大,解題繁瑣,答題時(shí)要認(rèn)真審題,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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③“若a,b∈R,則(a+b)(a-b)=a2-b2”類(lèi)比推出“若a,b∈C,則(a+b)(a-b)=a2-b2”;
④“若a,b∈R,則|a|=|b|⇒a=±b”類(lèi)比推出“若a,b∈C,則|a|=|b|⇒a=±b”.
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π
4
)(0<ω<1)
的圖象向右平移
π
6
個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)  g(x)=tan(ωx+
π
6
)
的圖象重合,則函數(shù)y=f(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(  )

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