Question

已知數(shù)列{a_n}，其中a1=1，an+1=

2an

1+2an

（n∈N^*）
（1）寫出{a_n}的前4項(xiàng)
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a_n+1=

2an

1+2an

，即可求得a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n=

2n-1

2n-1

，證明時(shí)分兩步：①當(dāng)n=1時(shí)，去證明猜想成立；②假設(shè)n=k（k＞1且k∈N^*）時(shí)猜想的等式成立，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想亦成立即可．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

2an

1+2an

，
∴a₂=

2a1

1+2a1

=

2

1+2

=

2

3

，
同理可求，a₃=

4

7

，a₄=

8

15

…（2分）
（2）由（1）猜想a_n=

2n-1

2n-1

…（5分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

21-1

21-1

=

1

1

=1，猜想成立    …（7分）
②假設(shè)n=k（k＞1且k∈N^*）時(shí)a_k=

2k-1

2k-1

成立 …（8分）
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

2ak

1+2ak

=

2• 2k-1 2k-1

1+2• 2k-1 2k-1

=

2•2k-1

2k-1+2•2k-1

=

2k

2•2k-1

=

2k-1+1

2k+1-1

，
即：n=k+1猜想成立                        …（12分）
綜上所述：當(dāng)n∈N^*時(shí)a_n=

2n-1

2n-1

成立．            …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，著重考查數(shù)學(xué)歸納法，猜想a_n=

2n-1

2n-1

是關(guān)鍵，考查猜想與推理證明的能力，屬于中檔題．