Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x-m在區(qū)間（-1，1）內有零點．
（1）求實數(shù)m的取值集合M；
（2）設不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集為N，若x∈N是x∈M的必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)零點和方程之間的關系轉化為一元二次函數(shù)即可求實數(shù)m的取值集合M；
（2）根據(jù)必要條件的定義轉化為一元二次函數(shù)根的分布，即可得到結論．

解答： 解：（1）若函數(shù)f（x）=x²-x-m在區(qū)間（-1，1）內有零點，
則方程函數(shù)m=x²-x在區(qū)間（-1，1）內有根，
設g（x）=x²-x，則g（x）=（x-

1

2

）²-

1

4

，
∵-1＜x＜1，∴-

1

4

≤g（x）＜2，
則-

1

4

≤m＜2，即M=[-

1

4

，2）．
（2）∵x∈N是x∈M的必要條件，
∴M⊆N，
設m（x）=（x-a）（x+a-2），
∵M=[-

1

4

，2）．
∴

m(- 1 4 )=(- 1 4 -a)(- 1 4 +a-2)＜0 m(2)=(2-a)(2+a-2)≤0

，
即

(a+ 1 4 )(a- 9 4 )＞0 a(a-2)≥0

，
則

a＞ 9 4 或a＜- 1 4 a≥2或a≤0

，
解得a＞

9

4

或a＜-

1

4

．

點評：本題主要考查不等式的求解以及充分條件和必要條件的應用，構造函數(shù)結合一元二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．