Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E為PB的中點，點F在棱PC上，且PF=λPC．
（1）求直線CE與直線PD所成角的余弦值；
（2）當直線BF與平面CDE所成的角最大時，求此時λ的值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標原點，AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出CE與PD所成角的余弦值．
（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．

解答 解：（1）如圖，以A為坐標原點，AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，$\frac{1}{2}$，1），…（2分）
$\overrightarrow{CE}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{-1-2}{\sqrt{\frac{9}{4}}•\sqrt{5}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CE與PD所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．…（4分）
（2）點F在棱PC上，且PF=λPC，∴$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}$，
∴F（λ，λ，-2λ），$\overrightarrow{BF}$=（λ，λ-1，2-2λ），
又$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{CE}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，1）．
設$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$為平面CDE的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-x-\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），…（6分）
設直線BF與平面CDE所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2-λ}{\sqrt{{λ}^{2}+（λ-1）^{2}+（2-2λ）^{2}}-\sqrt{2}}$=$\frac{2-λ}{\sqrt{2}•\sqrt{6{λ}^{2}-10λ+5}}$，…（8分）
令t=2-λ，則t∈[1，2]，∴sinθ=$\frac{t}{\sqrt{2}•\sqrt{6{t}^{2}-14t+9}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{{t}^{2}}-\frac{14}{t}+6}}$，
當$\frac{1}{t}=\frac{7}{9}$，即t=$\frac{9}{7}$∈[1，2]時，$\frac{9}{{t}^{2}}-\frac{14}{t}+6$有最小值$\frac{5}{9}$，此時sinθ取得最大值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
即BF與平面CDE所成的角最大，此時$λ=2-t=2-\frac{9}{7}$=$\frac{5}{7}$，即λ的值為$\frac{5}{7}$． …（10分）

點評 本題考查線線面的余弦值的求法，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．