【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD,PB⊥AC,Q是線段PB的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:AB⊥平面PAC;
(Ⅱ)求證:AQ∥平面PCD.

【答案】證明:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,AC,AB平面ABCD, ∴PA⊥AC,PA⊥AB,
∵PB⊥AC,AP⊥AC,PA,PB平面PAB,PA∩PB=P,
∴AC⊥平面PAB,
∵AB平面PAB,
∴AC⊥AB,PA⊥AB,PA,AC平面PAC,PA∩AC=A;
∴AB⊥平面PAC.
(Ⅱ)取PC中點(diǎn)E,連結(jié)QE,ED,
∵Q是線段PB的中點(diǎn),E是PC的中點(diǎn),
∴QE∥BC,BC=2AD,
∴QE∥AD,QE=AD,
∴四邊形AQED是平行四邊形,
∴AQ∥DE,
∵AQ∥ED,ED平面PCD,
∴AQ∥平面PCD.

【解析】(Ⅰ)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及PA⊥平面ABCD推斷出PA⊥AC,PA⊥AB,進(jìn)而利用PB⊥AC,推斷出AC⊥平面PAB,利用線面垂直性質(zhì)可知AC⊥AB,再根據(jù)PA⊥AB,PA,AC平面PAC,PA∩AC=A推斷出AB⊥平面PAC.(Ⅱ)取PC中點(diǎn)E,連結(jié)QE,ED,推斷出QE為中位線,判讀出QE∥BC,BC=2AD,進(jìn)而可知QE∥AD,QE=AD,判斷出四邊形AQED是平行四邊形,進(jìn)而可推斷出AQ∥DE,最后根據(jù)線面平行的判定定理證明出AQ∥平面PCD.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí),掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行,以及對(duì)直線與平面垂直的判定的理解,了解一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.(﹣2,﹣1)∪(1,2)
B.(﹣2,﹣1)∪(0,1)∪(2,+∞)
C.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(1,2)
D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)

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【題目】已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn)

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,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點(diǎn)為線段的中點(diǎn),且平面.

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圖中,課程為人文類課程,課程為自然科學(xué)類課程.為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向,結(jié)合上面圖表,采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡(jiǎn)稱“組”).

(Ⅰ)在“組”中,選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少?

(Ⅱ)某地舉辦自然科學(xué)營(yíng)活動(dòng),學(xué)校要求:參加活動(dòng)的學(xué)生只能是“組”中選擇

程或課程的同學(xué),并且這些同學(xué)以自愿報(bào)名繳費(fèi)的方式參加活動(dòng). 選擇課程的學(xué)生中有人參加科學(xué)營(yíng)活動(dòng),每人需繳納元,選擇課程的學(xué)生中有人參加該活動(dòng),每人需繳納元.記選擇課程和課程的學(xué)生自愿報(bào)名人數(shù)的情況為,參加活動(dòng)的學(xué)生繳納費(fèi)用總和為元.

①當(dāng)時(shí),寫(xiě)出的所有可能取值;

②若選擇課程的同學(xué)都參加科學(xué)營(yíng)活動(dòng),求元的概率.

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