Question

已知命題p：“sin2011°＜cos2011°”，命題q：“等比數(shù)列{a_n}中，a₁＜a₃是a₃＜a₅的充要條件”，則下列命題正確的
是

1. A.
   ￢p或q
2. B.
   p且q
3. C.
   ￢p且￢q
4. D.
   p或￢q

Answer 1

A
分析：利用終邊相同的角的形式判斷出2011°是第三象限角，先判斷出命題p的真假，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及不等式的性質(zhì)判斷出命題q的真假，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的命題的真假與構(gòu)成其簡單命題的真假的關(guān)系得到結(jié)論．
解答：因?yàn)?011°=360°×5+211°是第三象限角，
又221°＜225°
所以sin2011°＞cos2011，
所以命題p：“sin2011°＜cos2011°”，為假命題；￢p為真命題；
設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，得到它的第n項(xiàng)為a_n=a₁q^n-1
①先看充分性，
∵等比數(shù)列的公比q≠0
∴q²ⁿ=（qⁿ）²＞0，從而q²＞0
若a₁＜a₃，即a₁＜a₁q²，兩邊同乘以q²得：a₁q²＜a₁q4
即a₃＜a₅成立，因此充分性成立
②再看必要性，
若a₃＜a₅可得a₁q²＜a₁q⁴，兩邊都除以q²得a₁＜a₁q²，
即a₁＜a₃成立，因此必要性成立
綜上可得“a₁＜a₃”是“a₃＜a₅”的充分必要條件，
所以命題q：“等比數(shù)列{a_n}中，a₁＜a₃是a₃＜a₅的充要條件”為真命題，￢q為假命題，
所以￢p或q為真命題．
點(diǎn)評：本題考查復(fù)合命題的真假與構(gòu)成其簡單命題的真假的關(guān)系，解決復(fù)合函數(shù)的真假問題應(yīng)該先判斷出構(gòu)成其簡單命題的真假，屬于中檔題．