Question

13．在研究塞卡病毒（Zika virus）某種疫苗的過程中，為了研究小白鼠連續(xù)接種該種疫苗后出現(xiàn)Z癥狀的情況，做接種試驗．試驗設計每天接種一次，連續(xù)接種3天為一個接種周期．已知小白鼠接種后當天出現(xiàn)Z癥狀的概率為$\frac{1}{4}$，假設每次接種后當天是否出現(xiàn)Z癥狀與上次接種無關．
（Ⅰ）若出現(xiàn)Z癥狀即停止試驗，求試驗至多持續(xù)一個接種周期的概率；
（Ⅱ）若在一個接種周期內出現(xiàn)2次或3次Z癥狀，則這個接種周期結束后終止試驗，試驗至多持續(xù)3個周期．設接種試驗持續(xù)的接種周期數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出試驗至多持續(xù)一個接種周期的概率．
（Ⅱ）隨機變量ξ=1，2，3，設事件C為“在一個接種周期內出現(xiàn)2次或3次Z癥狀”，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）試驗至多持續(xù)一個接種周期的概率：
${P_1}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{16}+\frac{9}{64}=\frac{37}{64}$．（5分）
（Ⅱ）隨機變量ξ=1，2，3，設事件C為“在一個接種周期內出現(xiàn)2次或3次Z癥狀”，
$\begin{array}{l}P（ξ=1）=P（C）=C_3^2{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}+C_3^3{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{5}{32}，\\ P（ξ=2）=[1-P（C）]×P（C）=（1-\frac{5}{32}）×\frac{5}{32}=\frac{135}{1024}，\\ P（ξ=3）=[1-P（C）]×[1-P（C）]×1=\frac{729}{1024}，…（9分）\end{array}$
所以ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{5}{32}$	$\frac{135}{1024}$	$\frac{729}{1024}$

（10分）
ξ的數(shù)學期望$Eξ=1×\frac{5}{32}+2×\frac{135}{1024}+3×\frac{729}{1024}=\frac{2617}{1024}．…（12分）$

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．