Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x-1，（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）解關(guān)于x的方程f（x）=0；
（3）當(dāng)a≥1時，f（x）在[2，4]上的最小值為3，求f（x）在[2，4]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）討論a，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）討論a的取值范圍即可解關(guān)于x的方程f（x）=0；
（3）當(dāng)a≥1時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)f（x）的對稱軸之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=-2x-1在R上為減函數(shù)；…（1分）
當(dāng)a≠0時，f（x）的對稱軸為x=

1

a

若a＞0時，函數(shù)f（x）在(-∞，

1

a

]上為減函數(shù)，在[

1

a

，+∞)上為增函數(shù)   …（3分）
若a＜0時，函數(shù)f（x）在(-∞，

1

a

]上為增函數(shù)，在[

1

a

，+∞)上為減函數(shù)   …（5分）
（2）方程f（x）=0，即ax²-2x-1=0
當(dāng)a=0時，方程-2x-1=0有1個實根x=-

1

2

，…（6分）
當(dāng)a≠0時，△=4+4a…（7分）
①若△＜0，即a＜-1時，方程ax²-2x-1=0沒有實根        …（8分）
②若△=0，即a=-1時，方程ax²-2x-1=0有1個實根x=-1…（9分）
③若△＞0，即a＞-1且a≠0時，方程ax²-2x-1=0有2個實根x=

1± 1+a

a

…（10分）
（3）當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）=ax²-2x-1開口向上，對稱軸為x=

1

a

∈(0，1]…（11分）
∴f（x）在區(qū)間[2，4]上為增函數(shù)
∴f（x）_min=f（2）=4a-5=3，得a=2
∴f（x）=2x²-2x-1…（13分）
∴f（x）_max=f（4）=23…（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)最值的求解，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)對稱性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．