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15.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為\left\{{\begin{array}{l}{x=t-2}\\{y=t+2}\end{array}}(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}(α為參數(shù))}
(1)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離的最值.
(2)請問是否存在直線m,m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足S△AOB=34;若存在,請求出滿足題意的所有直線方程,若不存在請說明理由.

分析 (1)設(shè)Q的坐標(biāo)為(3cosα,sinα),利用點到直線的距離公式可得點Q到直線l的距離d,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出;
(2)假設(shè)存在直線m,m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足S△AOB=34;設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).設(shè)直線l:x-y+t=0.由曲線C的參數(shù)方程為\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}(α為參數(shù))}.化為化為x23+y2=1,聯(lián)立方程得到△>0及根與系數(shù)的關(guān)系,利用弦長公式可得|AB|,利用點到直線的距離公式可得原點O到直線m的距離,再利用三角形的面積計算公式即可得出.

解答 解:(1)直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)系方程x-y+4=0,…(2分)
因為點Q在曲線C上,故可設(shè)點Q的坐標(biāo)為(3cosα,sinα),從而點Q到直線l的距離為
d=|3cosαsin+4|2=2cos(α+π6)+22,…(4分)
由此得,當(dāng)cos(α+π6)=-1時,d取得最小值,且最小值為2
當(dāng)cos(α+π6)=1時,d取得最大值,且最大值為32.…(6分)
(2)設(shè)l平行線m方程:x-y+n=0,…(7分)
由曲線C的參數(shù)方程\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}(α為參數(shù))},化為x23+y2=1.
直線代入,化為4x2+6nx+3n2-3=0.
∵直線l與橢圓有兩個交點,∴△=36n2-16(3n2-3)>0,化為n2<4(*).
∴x1+x2=-3n2,x1x2=3n234
∴|AB|=233n24,
設(shè)O到直線m的距離為d,則d=|n|2…(10分)
SAOB=34=12|AB|d=12233n42|n|2n=±3n=±1,經(jīng)驗證均滿足題意,
所以滿足題意直線m有4條,方程為:xy±3=0xy±1=0,…(12分)

點評 本題綜合考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、點到直線的距離公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性、相互平行的直線的斜率之間的關(guān)系、橢圓的參數(shù)方程、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△>0及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.

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