Question

右圖是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；
（2）求二面角的大小；

Answer 1

(1)證明見(jiàn)試題解析；（2）.

解析試題分析：（1）證線面平行，一般根據(jù)線面平行的判定定理，在平面內(nèi)找到一條與平行的直線即可.為此我們?nèi)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5a/e/1mzwo3.png" style="vertical-align:middle;" />中點(diǎn)D，證明// .（2）要求二面角的大小，一般是先作出二面角的平面角，通過(guò)求這個(gè)平面角來(lái)求出二面角．由于該幾何體的三個(gè)側(cè)面都是直角梯形，易計(jì)算得，，，從而，所以。那么二面角的平面角可以直接在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，或者作平面，垂足為，連接，由三垂線定理知，就是所作平面角。
試題解析：（1）證明：作交于，連．
則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8c/e/1tinu2.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，
所以．
則是平行四邊形，因此有．
平面且平面，
則面．
（2）如圖，過(guò)作截面面，分別交，于，．

作于，連．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a6/b/14tcd3.png" style="vertical-align:middle;" />面，所以，則平面．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/13/2/1dini2.png" style="vertical-align:middle;" />，，．
所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f2/a/yaar41.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，故，
即：所求二面角的大小為．
考點(diǎn)：（1）線面平行；（2）二面角.