已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x都有f（x+1）+f（x）=1，且當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=|x-1|．
（1）當(dāng)x∈[2k，2k+2]（k∈Z）時，求f（x）的表達(dá)式．
（2）證明f（x）是偶函數(shù)．
（3）試問方程數(shù)學(xué)公式是否有實數(shù)根？若有實數(shù)根，指出實數(shù)根的個數(shù)；若沒有實數(shù)根，請說明理由．

解：（1）對任意實數(shù)x，滿足f（x）=1-f（x+1）=1-[1-f（x+2）]=f（x+2）=1-f（x+3）=1-[1-f（x+4）]=f（x+4）=…，
也就是有f（x）=f（x+2T），其中T屬于z．即f（x）是一個周期為2的周期函數(shù)．
對于任意x屬于[2k，2k+2]，有x-2k屬于[0，2]，則
f（x）=f（x-2k）=|（x-2k）-1|=|x-2k-1|
所以，x∈[2k，2k+2]（k∈Z）時，f（x）=|x-2k-1|
f（x）=|x-2k-1|（2k≤x≤2k+2，k∈Z）
（2）由（1）可知函數(shù)是個周期為2的周期函數(shù)，
可將f（x）通式寫為f（x）=|x-2k-1|，x∈[2k，2k+2]
取x∈[2k，2k+2]則-x∈[-2k-2，-2k]
那么：f（-x）=|-x-（-2k-1）|=|-x+2k+1|
=|x-2k-1|=f（x） 所以是偶函數(shù)．
（3）方程化為f（x）=log4 x，
log4 x=|x-2k-1|，x∈[2k，2k+2]，如圖

x=4時方程有一個根，x＞4時，方程無根，
方程在[1，4]上有3個實根．
分析：（1）推出函數(shù)的周期，通過當(dāng)x∈[2k，2k+2]（k∈Z）時，利用已知函數(shù)的表達(dá)式，直接求f（x）的表達(dá)式．
（2）利用（1）通過f（-x）=|-x-（-2k-1）|=|-x+2k+1|=|x-2k-1|=f（x） 證明f（x）是偶函數(shù)．
（3）化簡方程，構(gòu)造兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，即可判斷方程是否有實數(shù)根，指出實數(shù)根的個數(shù)．
點評：本題是中檔題，函數(shù)解析式的求法，偶函數(shù)的判斷，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，考查計算能力，作圖能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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同步練習(xí)冊答案