Question

如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（1）求證：平面BCD⊥平面ABC；
（2）求證：AF∥平面BDE；
（3）求四面體B-CDE的體積．

Answer 1

分析：（1）證明平面BCD⊥平面ABC，只需證明DC⊥面ABC，利用面ABC⊥面ACDE，CD⊥AC，即可證得；
（2）取BD的中點P，連接EP、FP，則可證四邊形AFPE是平行四邊形，所以AF∥EP，即可證得AF∥面BDE；
（3）證明BA⊥面ACDE，可得BA就是四面體B-CDE的高，且BA=2，可求S_△CDE=3-1=2，即可求得四面體B-CDE的體積．

解答：（1）證明：∵面ABC⊥面ACDE，面ABC∩面ACDE=AC，CD⊥AC，
∴DC⊥面ABC，…（2分）
又∵DC?面BCD，
∴平面BCD⊥平面ABC．…（4分）
（2）解：取BD的中點P，連接EP、FP，則FP∥

1

2

DC，F(xiàn)P=

1

2

DC
又∵EA∥

1

2

DC，EA=

1

2

DC
∴EA∥FP，EA=FP…（6分）
∴四邊形AFPE是平行四邊形，∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE且AF?面BDE，∴AF∥面BDE．…（8分）
（3）解：∵BA⊥AC，面ABC∩面ACDE=AC，∴BA⊥面ACDE．
∴BA就是四面體B-CDE的高，且BA=2．…（10分）
∵DC=AC=2AE=2，AE∥DC，
∴S梯形ACDE=

1

2

(1+2)×2=3，S△ACE=

1

2

×1×2=1，
∴S_△CDE=3-1=2，∴VE-CDE=

1

3

×2×2=

4

3

．…（12分）

點評：本題考查面面垂直，線面平行，考查四面體B-CDE的體積，解題的關鍵是掌握面面垂直，線面平行的判定方法，屬于中檔題．