【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣1.
(1)對于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若對任意實數(shù)x1∈[1,2].存在實數(shù)x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:對于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,
即為4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,
由1≤x≤2,可得4m2≤ ,
由g(x)= =4( + )2﹣ ,
當x=2,即 = 時,g(x)取得最小值,且為1,
即有4m2≤1,解得﹣ ≤m≤ ;
(2)解:對任意實數(shù)x1∈[1,2].
存在實數(shù)x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,
可設f(x)在[1,2]的值域為A,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域為B,
可得AB.
由f(x)在[1,2]遞增,可得A=[0,3];
當a<0時,h(x)=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2,(1≤x≤2),
在[1,2]遞增,可得B=[﹣a,6﹣2a],
可得﹣a≤0<3≤6﹣2a,不成立;
當a=0時,h(x)=2x2﹣2,(1≤x≤2),
在[1,2]遞增,可得B=[0,6],
可得0≤0<3≤6,成立;
當0<a≤2時,由h(x)=0,解得x= >1(負的舍去),
h(x)在[1, ]遞減,[ ,2]遞增,
即有h(x)的值域為[0,h(2)],即為[0,6﹣2a],
由0≤0<3≤6﹣2a,解得0<a≤ ;
當2<a≤3時,h(x)在[1, ]遞減,[ ,2]遞增,
即有h(x)的值域為[0,h(2)],即為[0,a],
由0≤0<3≤a,解得a=3;
當3<a≤4時,h(x)在[1,2]遞減,可得B=[2a﹣6,a],
由2a﹣6≤0<3≤a,無解,不成立;
當4<a≤6時,h(x)在[1, ]遞增,在[ ,2]遞減,可得B=[2a﹣6,2+ ],
由2a﹣6≤0<3≤2a,不成立;
當6<a≤8時,h(x)在[1, ]遞增,在[ ,2]遞減,可得B=[a,2+ ],
由a≤0<3≤2a,不成立;
當a>8時,h(x)在[1,2]遞增,可得B=[a,2a﹣6],
AB不成立.
綜上可得,a的范圍是0≤a≤ 或a=3.
【解析】(1)由題意可得4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,由1≤x≤2,可得4m2≤ ,運用二次函數(shù)的最值的求法,可得右邊函數(shù)的最小值,解不等式可得m的范圍;(2)f(x)在[1,2]的值域為A,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域為B,由題意可得AB.分別求得函數(shù)f(x)和h(x)的值域,注意討論對稱軸和零點,與區(qū)間的關系,結合單調性即可得到值域B,解不等式可得a的范圍.
【考點精析】利用二次函數(shù)的性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知當時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2 ﹣3(ω>0)
(1)若 是最小正周期為π的偶函數(shù),求ω和θ的值;
(2)若g(x)=f(3x)在 上是增函數(shù),求ω的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),在區(qū)間(﹣∞,0)單調遞增且f(﹣1)=0.若實數(shù)a滿足 ,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[1,2]
B.
C.(0,2]
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四邊形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cos∠B=
(1)求△ACD的面積;
(2)若BC=2 ,求AB的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面,且PA=AB=AC.
(1)求證:PA∥平面QBC;
(2)PQ⊥平面QBC,求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值.
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【題目】某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究,他們分別記錄了11月1日至11月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如表資料:
日期 | 11月1日 | 11月2日 | 11月3日 | 11月4日 | 11月5日 |
溫差x(℃) | 8 | 11 | 12 | 13 | 10 |
發(fā)芽數(shù)y(顆) | 16 | 25 | 26 | 30 | 23 |
設農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(注: , )
(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;
(2)若選取的是11月1日與11月5日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)11月2日至11月4日的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程 ;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液,已知每投放(且)個單位的營養(yǎng)液,它在水中釋放的濃度 (克/升)隨著時間 (天)變化的函數(shù)關系式近似為,其中,若多次投放,則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應時刻所釋放的濃度之和,根據(jù)經(jīng)驗,當水中營養(yǎng)液的濃度不低于4(克/升)時,它才能有效.
(1)若只投放一次2個單位的營養(yǎng)液,則有效時間最多可能達到幾天?
(2)若先投放2個單位的營養(yǎng)液,3天后再投放個單位的營養(yǎng)液,要使接下來的2天中,營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效,試求的最小值.
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