Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)y=xg（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若t∈[$\frac{1}{2}$，1]，求y=f[xg（x）+t]在x∈[1，e]上的最小值（結果用t表示）；
（Ⅲ）關于x的不等式g（x）-$\frac{a}{2}$f（x）≤（$\frac{3}{2}$a-1）x-1恒成立，求整數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）由y=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，x∈[1，e]，令u=xlnx，得到h（u）=u²+（2t-1）u+t²-t的單調(diào)性，從而求出h（u）的最小值即可；
（Ⅲ）分離參數(shù)a可得：不等式g（x）-$\frac{a}{2}$f（x）≤（$\frac{3}{2}$a-1）x-1恒成立?a＞m（x）_max，x＞0．利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（Ⅰ）y=xg（x）=xlnx，y′=lnx+1，
令y′＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令y′＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故函數(shù)y=xg（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增；
（Ⅱ）函數(shù)y=f[xg（x）+t]=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，x∈[1，e]，
令u=xlnx，由（Ⅰ）得：u=xlnx在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以0≤u≤e，y=h（u）=u²+（2t-1）u+t²-t，
h（u）的圖象的對稱軸u=-t+$\frac{1}{2}$，若t∈[$\frac{1}{2}$，1]，
則-$\frac{1}{2}$≤-t+$\frac{1}{2}$≤0，
h（u）在[0，e]上遞增，
h（u）_min=h（0）=t²-t，
即y=f[xg（x）+t]在x∈[1，e]上的最小值是t²-t；
（Ⅲ）由g（x）-$\frac{a}{2}$f（x）≤（$\frac{3}{2}$a-1）x-1恒成立，
化為：a＞$\frac{2lnx+2x+2}{{x}^{2}+2x}$=m（x），
只需a＞m（x）_max，x＞0．
m′（x）=$\frac{2（x+1）（1-lnx）}{{{（x}^{2}+2x）}^{2}}$，
令m′（x）＞0，解得0＜x＜e，此時函數(shù)m（x）單調(diào)遞增；
令m′（x）＜0，解得e＜x，此時函數(shù)m（x）單調(diào)遞減．
∴當x=e時，函數(shù)m（x）取得極大值即最大值，m（e）=$\frac{2}{e}$，
∴a＞$\frac{2}{e}$．
∴整數(shù)a的最小值為1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想、換元思想，是一道綜合題．