Question

3．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點F、A、B分別為E的左焦點、右頂點，上頂點，|AF|=$\sqrt{2}$+1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過原點O做斜率為k（k＞0）的直線，交E于C，D兩點，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，丨AF丨=a+c=$\sqrt{2}$+1，即可求得a和c的值，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線CD方程y=kx（k＞0），代入橢圓方程，即可求得C，D坐標(biāo)，d₁=$\frac{{x}_{1}+\sqrt{2}k{x}_{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，d₂=$\frac{{x}_{2}+\sqrt{2}k{x}_{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，S=$\frac{1}{2}$丨AB丨（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$k）（x₁-x₂）=$\frac{\sqrt{2}+2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可求得四邊形ACBD面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），橢圓焦點在x軸上，
離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，由丨AF丨=a+c=$\sqrt{2}$+1，則c=1，a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓E的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線CD方程y=kx（k＞0），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
C，D到AB的距離分別為d₁，d₂，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，
則C（$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$），D（9$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，-$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$），
因C、D分別在直線AB：$\frac{x}{\sqrt{2}}+y=1$的上方、下方
∴d₁=$\frac{{x}_{1}+\sqrt{2}k{x}_{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，d₂=$\frac{{x}_{2}+\sqrt{2}k{x}_{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
S=$\frac{1}{2}$丨AB丨（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$k）（x₁-x₂）=$\frac{\sqrt{2}+2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
∴S=$\sqrt{\frac{2（1+2\sqrt{2}k+2{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{2（1+\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}）}$≤$\sqrt{2（1+\frac{1+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）}$=2
當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，四邊形ACBD面積S最大值，最大值為2．-----------------------12分

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查四邊形面積公式及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．