Question

已知函數(shù)

(1)求在點(diǎn)處的切線方程；

(2)證明：曲線與曲線有唯一公共點(diǎn)；

(3)設(shè)，比較與的大小, 并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

(1)

【解析】

試題分析：(1)首先求出，令，即可求出在點(diǎn)處的切線方程的斜率，代入點(diǎn)斜式即可求出切線方程

(2)令 則，根據(jù)，討論在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，

，又，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所以曲線與曲線有唯一公共點(diǎn).

(3)作差得，令,討論， 的單調(diào)性，得到在上單調(diào)遞增，而，所以在上，可得時(shí)，

（1) ，則，點(diǎn)處的切線方程為：,

(2) 令 ，，則，

且，，

因此，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以，所以在上單調(diào)遞增，又，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，

所以曲線與曲線有唯一公共點(diǎn).

(3) 設(shè)

令且，則

，所以 在上單調(diào)增，且 ，

因此，在上單調(diào)遞增，而，所以在上

即當(dāng)時(shí)，且，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)時(shí)的應(yīng)用，曲線的切線方程