已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S12,S22、……、Sn2 ……,是以3為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列;數(shù)列{bn}為無窮等比數(shù)列,其前四項(xiàng)之和為120,第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90。

(1)求an、bn;

(2)從數(shù)列{}中能否挑出唯一的無窮等比數(shù)列,使它的各項(xiàng)和等于。若能的話,請寫出這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)和公比?若不能的話,請說明理由。

(1)an=(n??N);bn=3n(n??N)(2)見解析


解析:

(1){Sn}是以3為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列;所以Sn2=3+(n–1)=n+2

因?yàn)閍n>0,所以Sn=(n??N),當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn–Sn–1=,又a1=S1=,所以an=(n??N) ,設(shè){bn}的首項(xiàng)為b1,公比為q,則有 ,所以,所以bn=3n(n??N),

(2)=()n,設(shè)可以挑出一個(gè)無窮等比數(shù)列{cn},首項(xiàng)為c1=()p,公比為()k,(p、k??N), 它的各項(xiàng)和等于=,則有,所以()p=[1–()k], 當(dāng)p≥k時(shí)3p–3p–k=8,即3p–k(3k–1)=8, 因?yàn)閜、k??N,所以只有p–k=0,k=2時(shí),即p=k=2時(shí),數(shù)列{cn}的各項(xiàng)和為。當(dāng)p<k時(shí),3k–1=8.3k–p,因?yàn)閗>p右邊含有3的因數(shù),而左邊非3的倍數(shù),不存在p、k??N,所以唯一存在等比數(shù)列{cn},首項(xiàng)為,公比為,使它的各項(xiàng)和等于。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2005•金山區(qū)一模)已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S12,S22、…、Sn2…,是以3為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列;數(shù)列{bn}為無窮等比數(shù)列,其前四項(xiàng)之和為120,第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90.(1)求an、bn;(2)從數(shù)列{
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分)

(理)已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S12,S22、……、Sn……,是以3為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列;數(shù)列{bn}為無窮等比數(shù)列,其前四項(xiàng)之和為120,第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90.

(I)求an、bn;(II)從數(shù)列{}中能否挑出唯一的無窮等比數(shù)列,使它的各項(xiàng)和等于.若能的話,請寫出這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)和公比?若不能的話,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S12、S22、…、Sn2、…是以3為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列;數(shù)列{bn}為無窮等比數(shù)列,其前四項(xiàng)之和為120,第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90.

(Ⅰ)求an和bn;

(Ⅱ)試從數(shù)列{}中挑出一些項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)無窮等比數(shù)列,使它的各項(xiàng)和等于,并指出所挑數(shù)列的首項(xiàng)和公比.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010年上海市華東師大二附中高三數(shù)學(xué)綜合練習(xí)試卷(06)(解析版) 題型:解答題

已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S12,S22、…、Sn2…,是以3為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列;數(shù)列{bn}為無窮等比數(shù)列,其前四項(xiàng)之和為120,第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90.(1)求an、bn;(2)從數(shù)列{}中能否挑出唯一的無窮等比數(shù)列,使它的各項(xiàng)和等于.若能的話,請寫出這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)和公比?若不能的話,請說明理由.

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