已知拋物線E:x2=4y,直線l過點(diǎn)M(0,2)且與拋物線交于A、B兩點(diǎn),直線OA、OB分別與拋物線的準(zhǔn)線l交于C、D.
(1)若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)P在直線l上的射影為Q,求證:PQ=PM;
(2)求證:為定值;
(3)求CD的最小值.

【答案】分析:(1)設(shè)P(x+),拋物線E:x2=4y的準(zhǔn)線方程l為y=-1.由點(diǎn)P在直線l上的射影為Q,知PQ=+,由M(0,2),知PM==+,由此能夠證明PQ=PM.
(2)由題設(shè)知直線AB的斜率一定存在,設(shè)AB:y=kx+2,由,得x2-4kx-8=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1•x2=-8,y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-8k2+8k2+4=4,由此能夠證明為定值.
(3)由A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0),C,D都在直線l:y=-1上,知,D(-),故CD=||===,由此能求出CD的最小值.
解答:解:(1)∵點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn),
∴設(shè)P(x,+),
拋物線E:x2=4y的準(zhǔn)線方程l為y=-1.
∵點(diǎn)P在直線l上的射影為Q,
∴PQ=+
∵M(jìn)(0,2),∴PM==+,
∴PQ=PM.
(2)證明:由題設(shè)知直線AB的斜率一定存在,設(shè)AB:y=kx+2,
,得x2-4kx-8=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
x1+x2=4k,x1•x2=-8,
y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-8k2+8k2+4=4,
=(x1,y1),=(x2,y2),
=-8+4=-4.
為定值-4.
(3)∵A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0),
∴直線AO:,直線BO:
∵C,D都在直線l:y=-1上,
,D(-),
∴CD=||=
=
==
==2,
∴當(dāng)k=0時(shí),CD取最小值2
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)F在y軸正半軸上,拋物線上一點(diǎn)P(m,4)到其準(zhǔn)線的距離為5,過點(diǎn)F的直線l依次與拋物線E及圓x2+(y-1)2=1交于A、C、D、B四點(diǎn).
(1)求拋物線E的方程;
(2)探究|AC|•|BD|是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由;
(3)過點(diǎn)F作一條直線m與直線l垂直,且與拋物線交于M、N兩點(diǎn),求四邊形AMBN面積最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線P:x2=2py (p>0).
(Ⅰ)若拋物線上點(diǎn)M(m,2)到焦點(diǎn)F的距離為3.
(ⅰ)求拋物線P的方程;
(ⅱ)設(shè)拋物線P的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為E,過E作拋物線P的切線,求此切線方程;
(Ⅱ)設(shè)過焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),連接AO,BO并延長(zhǎng)分別交拋物線的準(zhǔn)線于C,D兩點(diǎn),求證:以CD為直徑的圓過焦點(diǎn)F.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線E:x2=4y,直線l過點(diǎn)M(0,2)且與拋物線交于A、B兩點(diǎn),直線OA、OB分別與拋物線的準(zhǔn)線l0交于C、D.
(1)若點(diǎn)P是拋物線y=
1
6
x2+
1
2
上任意一點(diǎn),點(diǎn)P在直線l0上的射影為Q,求證:PQ=PM;
(2)求證:
OA
OB
為定值;
(3)求CD的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線E:x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線方程是y=-
1
2

(1)求拋物線E的方程;
(2)過點(diǎn)F(0,
1
2
)的直線l與拋物線E交于P,Q兩點(diǎn),設(shè)N(0,a)(a<0),且
NP
NQ
≥0
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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