Question

已知函數f（x）對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（-1）=-2．
（Ⅰ）利用定義證明函數f（x）在R上是增函數；  
（Ⅱ）求f（x）在[-2，1]上的值域．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數的概念及其構成要素,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）直接利用定義證明函數f（x）在R上是增函數即可；  
（Ⅱ）利用賦值法，求出f（0）=0，判斷函數是奇函數，然后求解f（x）在[-2，1]上的值域．

解答： 解：（Ⅰ）設x₁＜x₂且x₁，x₂∈R，則x₂-x₁＞0，
由條件當x＞0時，f（x）＞0∴f（x₂-x₁）＞0．
又f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）＞f（x₁）
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）為增函數，
（Ⅱ）令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）．
又令x=y=0得f（0）=0．
∴f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數．
∵f（-1）=-f（1）=-2，f（-2）=2f（-1）=-4，
∴f（x）在[-2，1]上的值域為[-4，2]．

點評：本題考查函數的單調性的應用，抽象函數的應用，考查基本知識的應用．