Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，（a為常數(shù)），若直線(xiàn)l與y=f（x），y=g（x）的圖象都相切，且l與y=f（x）圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1
（Ⅰ）求直線(xiàn)l的方程及a的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求y=h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，討論關(guān)于x的方程f（x²+1）-g（x）=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)l與y=f（x）圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，求出切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程．根據(jù)直線(xiàn)l與y=g（x）的圖象也相切，聯(lián)立方程，方程組有一解，就可求出a的值．
（Ⅱ）化簡(jiǎn)h（x）=f（x+1）-g'（x），求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅲ）把方程f（x²+1）-g（x）=k左邊看做一個(gè)函數(shù)，右邊看做一個(gè)常函數(shù)，要求方程f（x²+1）-g（x）=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，只需看兩個(gè)函數(shù)圖象有幾個(gè)交點(diǎn)即可．利用導(dǎo)數(shù)求出左邊函數(shù)的極大值與極小值，再按k討論兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)即可．
解答：解（I），
∴k₁=1，切點(diǎn)為（1，f（1））=（1，0）
∴l(xiāng)的方程為y=x-1
∵l與g（x）相切，
∴由得，
又△=0，∴…（4分）
（Ⅱ）
∴
令h'（x）＞0，∴，∴-1＜x＜0
∴增區(qū)間為（-1，0]
（Ⅲ）令，y₂=k
∵
∴y_1極大=ln2（當(dāng)x=±1時(shí)取得）∴（當(dāng)x=0時(shí)取得） 
∴k∈（ln2，+∞）時(shí)，無(wú)解；k=ln2時(shí)，有兩解；時(shí)，有三解；時(shí)，有四解
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線(xiàn)的斜率，函數(shù)的極值的應(yīng)用．