Question

若S_n是公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和，S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，且S₂=4，設(shè)bn=

1

anan+1

，則新數(shù)列{b_n}的前n項和為

n

2n+1

．

Answer 1

分析：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知可解得首項和d可得其通項，進(jìn)而可得數(shù)列{b_n}的通項公式，由其特點可用裂項相消法可得結(jié)果．

解答：解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0）
由等差數(shù)列的求和公式可得：S₂=2a₁+d=4，①
S₄=4a1+

4×3

2

d=4a1+6d=8+4d，
又S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，故16=a₁（8+4d）   ②
綜合①②解得a₁=1，d=2，可得a_n=2n-1
所以bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
故數(shù)列{b_n}的前n項和為

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

故答案為：

n

2n+1

點評：本題為等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，求對數(shù)列的通項并變形為裂項相消的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．