Question

6．設(shè)AB=6，在線段AB上任取兩點C、D（端點A、B除外），將線段AB分成三條線段AC、CD、DB．
（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形（稱為事件A）的概率；
（2）若分成的三條線段的長度均為正實數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形（稱為事件B）的概率；
（3）根據(jù)以下用計算機所產(chǎn)生的20組隨機數(shù)，試用隨機數(shù)模擬的方法，來近似計算（2）中事件B的概率，
20組隨機數(shù)如下：

組別	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	0.52	0.36	0.58	0.73	0.41	0.6	0.05	0.32	0.38	0.73
Y	0.76	0.39	0.37	0.01	0.04	0.28	0.03	0.15	0.14	0.86

組別	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
X	0.67	0.47	0.58	0.21	0.54	0.64	0.36	0.35	0.95	0.14
Y	0.41	0.54	0.51	0.37	0.31	0.23	0.56	0.89	0.17	0.03

（X和Y都是0～1之間的均勻隨機數(shù)）

Answer 1

分析 （1）本題是一個古典概型，若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能為：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3種情況，其中只有三條線段為2，2，2時能構(gòu)成三角形，得到概率．
（2）本題是一個幾何概型，設(shè)出變量，寫出全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，和滿足條件的事件對應(yīng)的區(qū)域，注意整理三條線段能組成三角形的條件，做出面積，做比值得到概率．
（3）根據(jù)隨機數(shù)模擬的方法和步驟即可近似計算（2）中事件B的概率．

解答 解：（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能為：
1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；
2，1，3；2，2，2；2，3，1；
3，1，2；3，2，1；
4，1，1，
共10種情況，其中只有三條線段為2，2，2時能構(gòu)成三角形
則構(gòu)成三角形的概率p=$\frac{1}{10}$．
（2）由題意知本題是一個幾何概型
設(shè)其中兩條線段長度分別為x，y，
則第三條線段長度為6-x-y，
則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為：
0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6-x-y＜6，
即為0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6
所表示的平面區(qū)域為三角形OAB；
若三條線段x，y，6-x-y，能構(gòu)成三角形，
則還要滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y＞6-x-y\\ x+6-x-y＞y\\ y+6-x-y＞x\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}x+y＞3\\ y＜3\\ x＜3\end{array}\right.$，
所表示的平面區(qū)域為三角形DEF，
由幾何概型知所求的概率為：P=$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{1}{4}$．
（3）步驟如下：
①產(chǎn)生兩組0～1之間的均勻隨機數(shù)X、Y（題目給出）
②經(jīng)平移和伸縮變換，a=6X，b=6Y，
③數(shù)出落在0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6-x-y＜6的點（a，b）的個數(shù)N和落在0＜x＜3，0＜y＜3，0＜6-x-y＜6，6-x-y+y＞x，x+y＞6-x-y
的點（a，b）的個數(shù)N₁，由已知中的20組隨機數(shù)可數(shù)得N=13，N₁=3
④由$\frac{{S}_{B}}{{S}_{Ω}}=\frac{{N}_{1}}{N}$=$\frac{3}{13}$，故P（B）=$\frac{3}{13}$．

點評 本題考查古典概型，考查幾何概型，對于幾何概型的問題，一般要通過把試驗發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來，根據(jù)集合對應(yīng)的圖形做出面積，用面積的比值得到結(jié)果．