Question

15．（1）求和$\frac{3}{1!+2!+3!}$+$\frac{4}{2!+3!+4!}$+…+$\frac{n+2}{n!+（n+1）!+（n+2）!}$；
（2）已知$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{1{0C}_{7}^{m}}$，求${C}_{8}^{m}$．

Answer 1

分析 （1）由于$\frac{n+2}{n!+（n+1）!+（n+2）!}$=$\frac{n+2}{n!（1+n+1+{n}^{2}+3n+2）}$=$\frac{n+1}{（n+2）!}$=$\frac{1}{（n+1）!}-\frac{1}{（n+2）!}$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．
（2）利用組合數(shù)計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{n+2}{n!+（n+1）!+（n+2）!}$=$\frac{n+2}{n!（1+n+1+{n}^{2}+3n+2）}$=$\frac{1}{n!（n+2）}$=$\frac{n+1}{（n+2）!}$=$\frac{1}{（n+1）!}-\frac{1}{（n+2）!}$；
∴$\frac{3}{1!+2!+3!}$+$\frac{4}{2!+3!+4!}$+…+$\frac{n+2}{n!+（n+1）!+（n+2）!}$=$（\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}）$+$（\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}）$+…+$（\frac{1}{（n+1）!}-\frac{1}{（n+2）！}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+2）!}$．
（2）∵$\frac{1}{{C}_{5}^{m}}$-$\frac{1}{{C}_{6}^{m}}$=$\frac{7}{1{0C}_{7}^{m}}$，∴$\frac{m!（5-m）!}{5!}$-$\frac{m!（6-m）!}{6!}$=$\frac{7×m!（7-m）!}{10×7!}$，
化為：m²-23m+42=0，0≤m≤5，
解得m=2．
∴${C}_{8}^{m}$=${∁}_{8}^{2}$=28．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、組合數(shù)計(jì)算公式、階乘的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．