Question

【題目】提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車(chē)流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；

（Ⅱ）當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）=xv（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時(shí)）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 函數(shù)v（x）的表達(dá)式

（Ⅱ） 當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時(shí)．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v（x）=60. 當(dāng)20<x≤200時(shí)，設(shè)函數(shù)。由題意可知 ，代入求得 的值。（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，分別求兩段函數(shù)的最大值，哪個(gè)大就是函數(shù)的最大值。當(dāng)0≤x≤20時(shí)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求；當(dāng)20<x≤200時(shí)，因?yàn)?/span> 等于定值200，所以可由基本不等式求最大值。

試題解析：（Ⅰ） 由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v（x）=60；當(dāng)20＜x≤200時(shí)，設(shè)v（x）=ax+b

再由已知得，解得

故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為．

（Ⅱ）依題并由（Ⅰ）可得

當(dāng)0≤x＜20時(shí)，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時(shí)，其最大值為60×20=1200

當(dāng)20≤x≤200時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)x=200﹣x，即x=100時(shí)，等號(hào)成立．

所以，當(dāng)x=100時(shí)，f（x）在區(qū)間（20，200]上取得最大值．

綜上所述，當(dāng)x=100時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，200]上取得最大值為，

即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時(shí)．

答：（Ⅰ） 函數(shù)v（x）的表達(dá)式

（Ⅱ） 當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時(shí)．