Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=AA1 ， ∠BAA1=∠BAC=60°，點O是線段AB的中點． （Ⅰ）證明：BC1∥平面OA1C；
（Ⅱ）若AB=2，A1C= ，求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接OC，OA1 ， A1B．∵CA=CB，∴OC⊥AB． ∵CA=AB=AA1 ， ∠BAA1=∠BAC=60°，
故△AA1B、△ABC都為等邊三角形，
∴OA1⊥AB，CO⊥AB，∴OA、OA1、OC兩兩垂直，
以O(shè)為原點，OA、OA1、OC所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)CA=CB=AA1=2，
則B（﹣1，0，0），C1（﹣1， ， ），O（0，0，0），
A1（0， ，0），C（0，0， ），
=（0， , ）， =（0， ,0）， =（0，0， ），
設(shè)平面OA1C的法向量 =（1，0，0），
∵ =0，且BC1平面OA1C，
∴BC1∥平面OA1C．
解：（Ⅱ）∵AB=2，A1C= ，∴B（﹣1，0，0），C（0，0， ），A1（0， ,0），
=（1，0， ）， =（1， ,0），
設(shè)平面BCA1的法向量 =（x，y，z），
則 ，取x= ，得 ，
平面ABC的法向量 =（0，0，1），
設(shè)二面角A﹣BC﹣A1的平面角為θ，
則cosθ= = = ．
∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）連接OC，OA1 ， A1B，以O(shè)為原點，OA、OA1、OC所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BC1∥平面OA1C．（Ⅱ）求出平面BCA1的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣A1的余弦值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．