已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c(a,b,c∈R,a≠0)的圖象過點P(-1,2)且在P處的切線與直線x-3y=0垂直.
(Ⅰ)若c=0,試求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若a>0,b>0且f(x)在區(qū)間(-∞,m)及(n,+∞)上均為增函數(shù),試證:n-m>1.
【答案】分析:(Ⅰ)由題意可得f′(-1)=3a-2b,過P的切線與直線x-3y=0垂直,c=0,可解得a=1,b=3,從而利用導數(shù)法可求得函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=(a+1),代入f′(x)=3ax2+2bx,可得f'(x)=3ax2+3(a+1)x,利用f′(x)≥0得:x≤-或x≥0,結合題意即可證得結論.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2+c,
∴f′(x)=3ax2+2bx,
∴f′(-1)=3a-2b,
又過P的切線與直線x-3y=0垂直,
∴3a-2b=-3,
又c=0,
∴f(-1)=-a+b=2,聯(lián)立,解得a=1,b=3.
∴f(x)=x3+3x2,f'(x)=3x2+6x;
由f'(x)≥0⇒x≤-2或x≥0;f'(x)<0⇒-2<x<0
∴f(x)在(-∞,-2]及[0,+∞)上單調遞增,在[-2,0]上單調遞減.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,b=(a+1),
∴f'(x)=3ax2+3(a+1)x且a>0,令f′(x)≥0得:x≤-或x≥0,
又f(x)在區(qū)間(-∞,m)及(n,+∞)上均為增函數(shù),
∴n-m≥0-(-)==1+>1.
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,求得f(x)=x3+3x2是基礎,靈活應用導數(shù)與單調性間的關系是解決問題的關鍵,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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x
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1
2
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1
4
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