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4.已知函數f(x)=2x+m21-x
(1)若函數f(x)為奇函數,求實數m的值;
(2)若函數f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是單調遞增函數,求實數m的取值范圍;
(3)是否存在實數a,使得函數f(x)的圖象關于點A(a,0)對稱,若存在,求實數a的值,若不存在,請說明理由.
注:點M(x1,y1),N(x2,y2)的中點坐標為($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$).

分析 (1)由函數f(x)為奇函數,f(0)=0,解得實數m的值;
(2)若函數f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是單調遞增函數,
解法一:f(x1)-f(x2)<0對任意滿足1<x1<x2恒成立,解得實數m的取值范圍;
解法二:f′(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,解得實數m的取值范圍;
(3)假設存在滿足條件的實數a,則有有f(x1)+f(2a-x1)=0恒成立,則有:22a+2m=0,進而可得滿足條件的答案.

解答 解:(1)函數的定義域為實數集R
因為函數為奇函數
故f(-x)=-f(x),
所以f(0)=1+2m=0,即m=-$\frac{1}{2}$,
此時f(x)=2x-2-x
函數為奇函數滿足題意
故m=-$\frac{1}{2}$;  …(2分)
(2)解法一:
任取設1<x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=(${2}^{{x}_{1}}+{m2}^{{1-x}_{1}}$ )-(${2}^{{x}_{2}}+m{2}^{{1-x}_{2}}$ )…(4分)
=(${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$)($\frac{{2}^{{x}_{1+{x}_{2}}}-{2m}^{\;}}{{2}^{{x}_{1+{x}_{2}}}}$)<0對任意滿足1<x1<x2恒成立   …(6分)
因為${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$<0,且${2}^{{x}_{1+{x}_{2}}}>4$,
故2m≤4,即m≤2;…(8分)
解法二:若函數f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是單調遞增函數,
則f′(x)=ln2•2x-ln2•m21-x≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,…(4分)
即m≤22x-1在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,…(6分)
令y=22x-1,則在區(qū)間(1,+∞)上y>22-1=2恒成立,
故m≤2;  …(8分)
(3)假設存在滿足條件的實數a
在函數f(x)圖象上任取一點M(x1,y1),關于A(a,0)對稱點為N(x2,y2
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=a,$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=0,
即x2=2a-x1,y2=-y1,
即有f(x1)+f(2a-x1)=0恒成立                …(10分)
(注:沒有推導過程的,只有結論的不給分)
即(${2}^{{x}_{1}}+{m2}^{{1-x}_{1}}$ )+${2}^{{2a-x}_{1}}+{m2}^{{1-(2a-x}_{1})}$=0,
化簡得:(22a+2m)($\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{2a}}$+${2}^{-{x}_{1}}$)=0        …(12分)
∵$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{2a}}$+${2}^{-{x}_{1}}$>0恒成立,
故有:22a+2m=0,
當m≥0時,方程無解,故不存在
當m<0時,a=$\frac{1}{2}{log}_{2}(-2m)$,…(14分)
綜上所述:①當m≥0時,不存在實數a,使得函數f(x)圖象關于點A(a,0)對稱
②當m<0時,存在實數a=$\frac{1}{2}{log}_{2}(-2m)$,使得得函數f(x)圖象關于點A(a,0)對稱.…(16分)

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性,函數的奇偶性,函數的恒成立,難度較大.

練習冊系列答案
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