Question

設(shè)雙曲線

y2

a2

-

x2

3

=1的兩個焦點分別為F₁、F₂，離心率為2．
（I）求雙曲線的漸近線方程；
（II）過點N（1，0）能否作出直線l，使l與雙曲線C交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=0，若存在，求出直線方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）直接利用離心率為2以及b²=3求出a即可得雙曲線的漸近線方程；
（II）先討論得出直線斜率不存在時不適合題意，進而設(shè)直線l方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線方程與雙曲線方程得P、Q兩點的坐標與k之間的關(guān)系，再結(jié)合

OP

•

OQ

=0即可求出k的范圍進而得出結(jié)論．

解答：解：（I）∵e=

a2+3

|a|

∴a²=1
∴雙曲線漸近線方程為y=±

3 x

3

（Ⅱ）假設(shè)過點N（1，0）能作出直線l，使l與雙曲線C交于P、Q兩點，
且

OP

•

OQ

=0
若過點N（1，0）的直線斜率不存在，則不適合題意，舍去．
設(shè)直線l方程為y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴

y=k(x-1)     ① y2- x 3 =1     ②

①代入②得：（3k²-1）x²-6k²x+3k²-3=0
∴

3k2-1≠0            ① △＞0                 ② x1+x2= 6k2 3k2-1   ③ x1•x2= 3k2-3 3k2-1    ④

∵

OP

•

OQ

=0
∴y₁y₂+x₁x₂=0
∴（k²+1）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=0
∴

k2+3

3k2-1

=0
∴k²=-3不合題意．
∴不存在這樣的直線．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．本題第二問的易錯點在于忘記討論直線斜率不存在的情況，從而得分不全．