Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）
（1）若數(shù)列{a_n+c}成等比數(shù)列，求常數(shù)c值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在三項，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用遞推公式可得a_n=s_n-s_n-1，利用等比數(shù)列的定義可求c
（2）由遞推公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁求解
（3）假設(shè)存在a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列，則2a_p=a_s+a_r，結(jié)合（2）中的通項公式進(jìn)行推理．

解答：解：（1）由S_n=2a_n-3_n及S_n+1=2a_n+1-3（n+1）得a_n+1=2a_n+3
∴

an+1+3

an+3

=2，∴c=3

（2）∵a₁=S₁=2a₁-3，?∴a₁=3，a_n+3=（a₁+3）•2^n-1∴a_n=3.2ⁿ-3（n∈N^*）
（3）設(shè)存在S，P，r∈N^*，且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列∴2a_p=a_s+a_r
即2（3•2^p-3）=（3•2^s-3）+（3•2^r-3）∴2^p+1=2^s+2^r??
∴2^p-s+1=1+2^r-s∵s，p，r∈N^*?且s＜p＜r
∴2^p-s+1、2^r-s為偶數(shù)
1+2^r-s為奇數(shù)矛盾，不存在滿足條件的三項

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁的應(yīng)用及等比數(shù)列的定義，而對存在性問題，一般是先假設(shè)存在，然后由假設(shè)結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，看是否產(chǎn)生矛盾，從而判斷存在性．