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6.已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)P(1,0),且與直線x=-1相切.
(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn),且OAOB=0,求證:直線AB過(guò)定點(diǎn).

分析 (1)設(shè)M(x,y)求出PM和M到切線x=-1的距離,列出方程整理化簡(jiǎn)即可得出軌跡方程;
(2)設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,聯(lián)立方程組消元,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),利用根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算x1x2,y1y2,令x1x2+y1y2=0即可得出m,得出AB的定點(diǎn)坐標(biāo).

解答 解:(1)設(shè)M(x,y),
M到直線x=-1的距離為|x+1|,又|PM|=x12+y2,
∴|x+1|=x12+y2,兩邊平方得x2+2x+1=x2-2x+1+y2,
∴y2=4x.
∴動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為y2=4x.
(2)設(shè)直線AB為:x=ty+m,
聯(lián)立方程組{x=ty+my2=4x,消元得y2-4ty-4m=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4t,y1y2=-4m.
∴x1x2=(ty1+m)(ty2+m)=t2y1y2+mt(y1+y2)+m2,
OAOB=x1x2+y1y2=-4mt2+4mt2+m2-4m=m2-4m=0,
解得m=4或m=0(舍).
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(4,0).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求解,直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.

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