過雙曲線
x2
3
-
y2
6
=1的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，F(xiàn)1為左焦點．
（1）求|AB|；
（2）求△AOB的面積；
（3）求證：|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|．
分析：（1）根據(jù)雙曲線的標準方程，確定焦點坐標，進而可得直線AB的方程，與雙曲線聯(lián)立，利用韋達定理，可計算|AB|；
（2）求出原點O到直線AB的距離，即可求得△AOB的面積；
（3）利用雙曲線的定義，即可證得結論．
解答：（1）解：由雙曲線的方程得a=
3
，b=
6
，
∴c=
a2+b2
=3，F(xiàn)1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）．
∴直線AB的方程為y=
3
3
（x-3）．
設A（x1，y1），B（x2，y2），由
y=
3
3
(x-3)
x2
3
-
y2
6
=1
得5x2+6x-27=0．
∴x1+x2=-
6
5
，x1x2=-
27
5
．
∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+
1
3
•
36
25
+
108
5
=
16
3
5

（2）解：直線AB的方程變形為
3
x-3y-3
3
=0．
∴原點O到直線AB的距離為d=
|-3
3
|
(
3
)2+(-3)2
=
3
2
．
∴S△AOB=
1
2
|AB|•d=
1
2
×
16
3
5
×
3
2
=
12
3
5
．…（8分）
（3）證明：如圖，由雙曲線的定義得
|AF2|-|AF1|=2
3
，|BF1|-|BF2|=2
3
，
∴|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|…（12分）
點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線的定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，1），且它的離心率與雙曲線
x2
3
-y2=1的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A且斜率為k的直線l與橢圓相交于A、B兩點，點M在橢圓上，且滿足
OM
=
1
2
OA
+
3
2
OB
，求k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

命題“若過雙曲線
x2
3
-y2=1的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交雙曲線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交X軸于點M則
|AB|
|FM|
為定值，且定值為
3
．
（1）試類比上述命題，寫出一個關于橢圓C：
X2
25
+
Y2
9
=1的類似的正確命題，并加以證明；
（2）試推廣（1）中的命題，給出關于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過雙曲線
x2
3
-y2=1的右焦點F2，作傾斜角為
π
4
的直線交雙曲線于A、B兩點，
求：（1）|AB|的值；
（2）△F1AB的周長（F1為雙曲線的左焦點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓與雙曲線
x23
-y2=1有共同的焦點，且過點P（2，3），求雙曲線的漸近線及橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•廣安二模）命題“若過雙曲線
x2
3
-y2=1的一個焦點F作與X軸不垂直的直線交雙曲線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則
|AB|
|FM|
為定值，且定值為
3
”．
（1）試類比上述命題，寫出一個關于拋物線y2=4x的類似的正確命題，并加以證明；
（2）試推廣（1）中的命題，給出關于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不證明）．

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