某旅游景點2010年利潤為100萬元,因市場競爭,若不開發(fā)新項目,預(yù)測從2011年起每年利潤比上一年減少4萬元.2011年初,該景點一次性投入90萬元開發(fā)新項目,預(yù)測在未扣除開發(fā)所投入資金的情況下,第n年(n為正整數(shù),2011年為第1年)的利潤為100(1+
13n
)萬元.
(1)設(shè)從2011年起的前n年,該景點不開發(fā)新項目的累計利潤為An萬元,開發(fā)新項目的累計利潤為Bn萬元(須扣除開發(fā)所投入資金),求An、Bn的表達式;
(2)依上述預(yù)測,該景點從第幾年開始,開發(fā)新項目的累計利潤超過不開發(fā)新項目的累計利潤?
分析:(1)根據(jù)題意得,An是首項為96,公差為-4的等差數(shù)列的前n項和;Bn是數(shù)列{100(1+
1
3n
)}
的前n項和與90的差;故可以求出An,Bn;
(2)由(1)知,求出Bn-An的表達式,可判斷Bn-An是數(shù)集N*上的單調(diào)遞增數(shù)列,且有:B4-A4<0,B5-A5>0,得出結(jié)論.
解答:解:(1)依題意,知An是首項為100-4=96,公差為-4的等差數(shù)列的前n項和,
所以,An=96n+
n(n-1)×(-4)
2
=98n-2n2
數(shù)列{100(1+
1
3n
)}
的前n項和為:100n+
100
3
×
1-
1
3n
1-
1
3
=100n+50(1-
1
3n
)
,
∴Bn=100n+50(1-
1
3n
)
-90=100n-40-
50
3n

(2)由(1)得,Bn-An=(100n-40-
50
3n
)
-(98n-2n2)=2n+2n2-40-
50
3n
,
Bn-An是數(shù)集N*上的單調(diào)遞增數(shù)列,
觀察并計算知:B4-A4=-
50
81
<0,B5-A5=20-
50
243
>0,
所以從第5年開始,開發(fā)新項目的累計利潤超過不開發(fā)新項目的累計利潤.
點評:本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列的概念以及前n項和公式的綜合應(yīng)用,在數(shù)列求和時,需要認真審題,仔細解答.
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⑴設(shè)從2011年起的前年,該景點不開發(fā)新項目的累計利潤為萬元,開發(fā)新項目的累計利潤為萬元(須扣除開發(fā)所投入資金),求、的表達式;

⑵依上述預(yù)測,該景點從第幾年開始,開發(fā)新項目的累計利潤超過不開發(fā)新項目的累計利潤?

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(1)設(shè)從2011年起的前n年,該景點不開發(fā)新項目的累計利潤為An萬元,開發(fā)新項目的累計利潤為Bn萬元(須扣除開發(fā)所投入資金),求An、Bn的表達式;
(2)依上述預(yù)測,該景點從第幾年開始,開發(fā)新項目的累計利潤超過不開發(fā)新項目的累計利潤?

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