Question

16．球O與直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各個(gè)面都相切，若三棱柱的表面積為27，△ABC的周長為6$\sqrt{3}$，則球的表面積為$\frac{31-12\sqrt{3}}{4}π$．

Answer 1

分析 利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積是27，求出球的半徑，再求球的表面積．

解答 解：∵三角形ABC的周長為6$\sqrt{3}$，
∴可設(shè)三角形ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，
設(shè)球O的半徑為r，則
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積是27，
∴2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2$\sqrt{3}$）²+3×2$\sqrt{3}$×2r=27，
∴r=$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$，
∴球的表面積為4π（$\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$）²=$\frac{31-12\sqrt{3}}{4}π$．
故答案為：$\frac{31-12\sqrt{3}}{4}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定球的半徑是關(guān)鍵．