Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（I）求a，b的值；

（II）如果當(dāng)x>0，且時(shí)，，求k的取值范圍．

請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑．

Answer 1

解：

       （Ⅰ）

       由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即

                           解得，．

       （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

       ．

考慮函數(shù)，則

       ．

       (i)設(shè)，由知，當(dāng)時(shí)，．而，故

       當(dāng)時(shí)，，可得；

當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）<0，可得 h（x）>0

從而當(dāng)x>0，且x1時(shí)，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）設(shè)0<k<1.由于當(dāng)x（1，）時(shí)，（k-1）（x² +1）+2x>0，故 (x）>0，而

       h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，h（x）>0，可得h（x）<0，與題設(shè)矛盾．

（iii）設(shè)k1.此時(shí)（x）>0，而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）>0，可得 h（x）<0，與題設(shè)矛盾．

       綜合得，k的取值范圍為（-，0]

解：（2）由（1）知．
故要證： 只需證
為去分母，故分x>1與0<x<1兩種情況討論：

當(dāng)x>1時(shí)，需證

即   即需證．       （1）

設(shè)，則
由x>1得，所以在（1，+）上為減函數(shù)．又因g（1）=0
所以 當(dāng)x>1時(shí) g（x）<0   即（1）式成立．

同理0<x<1時(shí)，需證      （2）
而由0<x<1得，所以在（0，1）上為增函數(shù)．又因g（1）=0
所以 當(dāng)0<x<1時(shí) g（x）<0   即（2）式成立．

綜上所證，知要證不等式成立．

點(diǎn)評：抓住基本思路，去分母化簡問題，不可死算．