Question

13．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$的實軸長、虛軸長、焦距長成等差數(shù)列，則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{4}{3}$x．

Answer 1

分析 由雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$，的實軸長2a、虛軸長2、焦距長2$\sqrt{{a}^{2}+1}$，成等差數(shù)列，4=2a+2$\sqrt{{a}^{2}+1}$，求得a的值，求得雙曲線方程，即可求得雙曲線的漸近線方程．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$，的實軸長2a、虛軸長2、焦距長2$\sqrt{{a}^{2}+1}$，成等差數(shù)列，
∴4=2a+2$\sqrt{{a}^{2}+1}$，解得a=$\frac{3}{4}$．
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{16}}-{y}^{2}=1$，
∴漸近線方程為：y=±$\frac{4}{3}$x．
故答案為：y=±$\frac{4}{3}$x．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．