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17.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1=2且a1,a3,2a2+6成等差數(shù)列.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足411421…4n1=(ann(n∈N),證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)證明:n2-13a11a21+a21a31+…+an1an+11n2(n∈N)

分析 (Ⅰ)由等比數(shù)列通項公式和等差數(shù)列性質(zhì)求出公比,由此能求出數(shù)列{an}的通項公式.
(Ⅱ)由已知得41+2++nn=2nn,從而2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn,由此推導(dǎo)出bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),進(jìn)而能證明{bn}是等差數(shù)列.
(Ⅲ)由ak1ak+11=2k12k+11=2k122k1212ak1ak+11=2k12k+11=12122k+11121312k,能證明n2-13a11a21+a21a31+…+an1an+11n2(n∈N).

解答 解:(Ⅰ)∵各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1=2且a1,a3,2a2+6成等差數(shù)列,
∴2(2q2)=2+2(2q)+6,且q>0,
∴解得q=2或q=-1(舍),
∴an=2n
證明:(Ⅱ)∵數(shù)列{bn}滿足411421…4n1=(ann(n∈N),
41+2++nn=2nn,
∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn,①
2[(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1.②
②-①,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn
即(n-1)bn+1-nbn+2=0,nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.
③-④,得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,
即bn+2-2bn+1+bn=0,
∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*),
∴{bn}是等差數(shù)列.
(Ⅲ)∵ak1ak+11=2k12k+11=2k122k1212,k=1,2,3,…,n,
a11a21+a21a31+…+an1an+11n2(n∈N),
ak1ak+11=2k12k+11=12122k+11
=12132k+2k2121312k,k=1,2,3,…,n,
a11a21+a21a31+…+an1an+11n213,
n2-13a11a21+a21a31+…+an1an+11n2(n∈N).

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查等差數(shù)列的證明,考查不等式的證明,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意放縮法的合理運用.

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